blog anak mahasiswa: RANGKUMAN BARISAN DAN DERET

Barisan adalah himpunan yang anggotanya merupakan hasil pemetaan dari bilangan asli.
Contoh barisan:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
2, 5, 8, 11, 14, 17
13, 11, 9, 7, 5, 3
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13
2, 4, 8, 16, 32, 64

Deret adalah penjumlahan dari anggota-anggota suatu barisan.
Contoh deret:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9
2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17
13 + 11 + 9 + 7 + 5 + 3

Deret bisa juga dinyatakan dalam notasi sigma. Berikut adalah sifat-sifat dari notasi sigma.
$\\1.\ \sum_{k=1}^{n}a_k=a_1+a_2+a_3+...+a_n\\\\ 2.\ \sum_{k=1}^{n}a_k=\sum_{j=1}^{n}a_j\\\\ 3.a.\ \sum_{k=m}^{n}c=(n-m+1)c\\ 3.b.\ \sum_{k=1}^{n}c=nc\\\\ 4.\ \sum_{k=m}^{n}c a_k=c\sum_{k=m}^{n}a_k\\\\ 5.\ \sum_{k=m}^{n}(a_k\pm b_k)=\sum_{k=m}^{n}a_k\pm \sum_{k=m}^{n}b_k\\\\ 6.\ \sum_{k=m}^{n}a_k=\sum_{k=m}^{p}a_k+\sum_{k=p+1}^{n}a_k\\\\ 7.a.\ \sum_{k=m}^{n}a_k=\sum_{k=m-1}^{n-1}a_{k+1}\\\\ 7.b.\ \sum_{k=1}^{n}a_k=\sum_{k=0}^{n-1}a_{k+1}\\\\ 7.c.\ \sum_{k=m}^{n}a_k=\sum_{k=m+1}^{n+1}a_{k-1}\\\\ 7.d.\ \sum_{k=1}^{n}a_k=\sum_{k=2}^{n+1}a_{k-1}\\\\ 8.\ \sum_{k=m}^{m}a_k=a_m\\\\ dengan\ m=1,2,3,...\ (m\in Bilangan Asli)$
Deret Pangkat Bilangan Asli
$\\\sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}\\\\\\ \sum_{k=1}^{n}k^2=1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\\\\\ \sum_{k=1}^{n}k^3=1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left[\frac{n(n+1)}{2} \right]^2\\\\\\ \sum_{k=1}^{n}k^4=1^4+2^4+3^4+...+n^4=\frac{n(n+1)(6n^3+9n^2+n-1)}{30}$
Barisan Aritmatika
Barisan aritmatika adalah barisan dengan selisih antara dua suku berurutan selalu tetap. Selisih dua suku berurutan tersebut dinamakan beda, ditulis b.
b=U_n-U_n-1
Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika
U_n = a + (n - 1)b
keterangan:
U_n: suku ke-n
a: suku pertama
b: beda
n: banyak suku
Suku Tengah Barisan Aritmatika
Jika barisan aritmatika mempunyai banyak suku (n) ganjil, suku pertama a, dan suku terakhir U_n maka suku tengah U_t dari barisan tersebut adalah sebagai berikut.
U_t = 1/2(a + U_n)
dengan t = 1/2(n+1)
Sisipan pada Barisan Aritmatika
Jika antara dua suku barisan aritmatika disisipkan k buah suku sehingga membentuk barisan aritmatika baru maka beda barisan aritmatika setelah disisipkan k buah suku akan berubah. Beda dari barisan aritmatika setelah disisipkan k buah suku adalah sebagai berikut.
b' = b/(k + 1)
keterangan:
b': beda barisan aritmatika setelah disisipkan k buah suku
k: banyak suku yang disisipkan
Banyak suku dari barisan aritmatika yang disisipkan k buah suku juga akan berubah, menjadi seperti berikut.
n' = n + (n - 1)k
keterangan:
n': banyak suku barisan aritmatika baru
n: banyak suku barisan aritmatika lama
Deret Aritmatika
Deret aritmatika adalah jumlah dari suku-suku barisan aritmatika. Deret aritmatika untuk n suku pertama dinotasikan dengan S_n dan memiliki rumus sebagai berikut.
S_n = n/2(a + u_n)
atau
S_n = n/2(2a + (n - 1)b)
keterangan:
S_n: jumlah n suku pertama
a: suku pertama
U_n: suku ke-n atau suku terakhir
b: beda
n: banyak suku
Barisan Geometri
Barisan geometri adalah barisan dengan pembanding antara dua suku berurutan selalu tetap. Pembanding dua suku berurutan tersebut dinamakan rasio, ditulis r.
$r=\frac{U_n}{U_{n-1}}$
Rumus Suku ke-n Barisan Geometri
U_n = ar^{n - 1}
keterangan:
U_n: suku ke-n
a: suku pertama
r: rasio
n: banyak suku
Suku Tengah Barisan Geometri
Jika suatu barisan geometri mempunyai banyak suku (n) ganjil, suku pertama a, dan suku terakhir U_n maka suku tengah U_t dari barisan tersebut adalah sebagai berikut.
$U_t=\sqrt{a\times U_n}\ dengan\ t=\frac12(n+1)$
Sisipan pada Barisan Geometri
Jika antara dua suku barisan geometri disisipkan k buah suku sehingga membentuk barisan geometri baru maka rasio barisan geometri setelah disisipkan k buah suku akan berubah. Rasio dari barisan geometri setelah disisipkan k buah suku adalah sebagai berikut.
$r'=\sqrt[k+1]{r}$
keterangan:
r': rasio barisan geometri setelah disisipkan k buah suku
k: banyak suku yang disisipkan
Banyak suku dari barisan aritmatika yang disisipkan k buah suku juga akan berubah, menjadi seperti berikut.
n' = n + (n - 1)k
keterangan:
n': banyak suku barisan aritmatika baru
n: banyak suku barisan aritmatika lama
Deret Geometri
Deret geometri adalah jumlah dari suku-suku barisan geometri. Deret geometri untuk n suku pertama dinotasikan dengan S_n dan memiliki rumus sebagai berikut.
$\\S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}\ untuk\ r>1\\\\ atau\\\\ S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}\ untuk\ r<1$
keterangan:
S_n: jumlah n suku pertama
a: suku pertama
r: rasio
n: banyak suku
Deret Geometri Tak Berhingga
Barisan geometri dengan rasio antara -1 dan 1 disebut barisan geometri yang konvergen. Deret geometri dari barisan geometri yang konvergen dan banyak suku tak berhingga dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut.
$S_\infty=\frac{a}{1-r}$
keterangan:
a: suku pertama
r: rasio dengan syarat -1<r<1
Hubungan Barisan dan Deret

U_n = S_n - S_{n - 1}
Beda barisan aritmatika dapat diperoleh dari turunan kedua deret aritmatika.

Demi menghargai hak kekayaan intelektual, mohon untuk tidak menyalin sebagian atau seluruh halaman web ini dengan cara apa pun untuk ditampilkan di halaman web lain atau diklaim sebagai karya milik Anda. Tindakan tersebut hanya akan merugikan diri Anda sendiri. Jika membutuhkan halaman ini dengan tujuan untuk digunakan sendiri, silakan unduh atau cetak secara langsung

SUMBER = opanlab

blog anak mahasiswa

Kamis, 04 Juni 2015

RANGKUMAN BARISAN DAN DERET

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Find Us